Уэлбек родился в Манчестере в семье эмигрантов из Ганы. Ещё в шестилетнем возрасте он был замечен скаутами «Манчестер Юнайтед». В сезоне 2005/06 перешёл в Академию «Манчестер Юнайтед». Его дебютный матч за молодёжный состав «Юнайтед» состоялся 8 апреля 2006 года в матче молодёжного чемпионата против «Сандерленда». В следующем матче он вышел на замену, а в оставшихся двух играх сезона оставался на скамейке запасных.

В июле 2007 года Уэлбек подписал свой первый стажёрский контракт. Сезон 2007/08 он начал в молодёжной команде, но вскоре был переведён в резервную команду «Юнайтед», где, в основном, выходил на замену. Затем, в январе 2008 года, он был вызван вместе с командой в Саудовскую Аравию, чтобы сыграть в прощальном матче Сами аль-Джабера из клуба «Аль-Хиляль». В матче, состоявшимся 21 января 2008 года, Уэлбек вышел на замену Андерсону на 65-й минуте. У Уэлбека был шанс спасти команду от поражения, когда на нём сфолили в штрафной в самом конце встречи, но он пробил одиннадцатиметровый выше перекладины.

25 января 2008 года сэр Алекс Фергюсон сообщил, что Уэлбек получит постоянный номер в основной команде на сезон 2008/09. 9 февраля 2008 года на предматчевой конференции перед игрой с «Манчестер Сити» Фергюсон сказал, что Уэлбек будет включён в состав на матч. Он также намекнул, что Уэлбек может начать матч в стартовом составе. Этого, однако, не произошло — Дэнни вообще не попал в заявку на матч.

Дебют Уэлбека за основной состав «Юнайтед» состоялся 23 сентября 2008 года, когда Дэнни вышел на поле в стартовом составе на матч третьего раунда Кубка Лиги против «Мидлсбро». «Юнайтед» выиграл этот матч со счётом 3:1. Первый гол за «Юнайтед» забил в матче со «Сток Сити» 15 ноября 2008 года, который закончился со счётом 5:0.

11 декабря 2009 Дэнни подписал новый контракт с «Манчестер Юнайтед» до июня 2013 года.

22 августа 2012 года подписал контракт с «Манчестер Юнайтед» до июня 2016 года.

1 сентября 2014 года перешёл в «Арсенал», подписав с лондонским клубом долгосрочный контракт. Сумма трансфера составила 16 млн фунтов.

14-летний Уэлбек дебютировал за молодёжную сборную Англии (до 16 лет) в октябре 2005 года в мачте против Уэльса. После этого он перешёл в сборную Англии до 17 лет, забив решающий гол в квалификационной встрече против Сербии и помог команде пробиться на юношеский чемпионат Европы (до 17 лет). На этом чемпионате Англия завоевала серебряные медали, уступив лишь Испании, что позволило ей пробиться на юношеский чемпионат (до 17 лет) в Южной Корее. На нём Уэлбек забил два гола в ворота Новой Зеландии и помог Англии, впервые принимавшей участие в этом турнире, достичь четвертьфинала.

За основную сборную Дэнни дебютировал 29 марта 2011 года в товарищеском матче против Ганы. Первый гол за сборную забил в пятой игре в ворота Бельгии.

Попал в заявку команды на Евро-2012. На турнире в игре со Швецией при счёте 2:2 на 78-й минуте игры забил уникальный по необычности и красоте исполнения победный гол в ворота шведов — двигаясь боком, а затем спиной к чужим воротам и получив прострельную передачу с правого фланга, немного проскочив ее, пропустил мяч перед левой опорной ногой, нанес удар правой ногой по направлению спереди-назад, то есть в направлении ворот соперника. Мяч влетел в незащищенный правый от вратаря угол ворот, который в момент удара в лучшем случае мог видеть только спину Дэнни (игра так и завершилась со счетом 3:2 в пользу Англии).